高分子在二维受限空间动力学的理论计算

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第一章 前言 5
第二章 研究方法 8
2.1 简单无规行走 8
2.2 计算方法 10
2.2.1 外界势场下的理想链 10
2.2.2 基态占优势的情况 13
2.3 Fokker-Planck 方程 14
2.4 首次穿越时间 15
2.5 标度理论 16
2.6 数值研究方法 17
2.6.1 Monte Carlo方法 17
2.6.2 四位置模型 18
第三章 解析计算 19
3.1 体系描述 19
3.2 自由能的计算 20
3.3 穿越时间的计算 23
第四章 结果与讨论 26
4.1 解析计算的结果 26
4.2 数值计算的结果 27
4.3 解析和数值结果的比较 29
参考文献 31
 
摘要
本文计算了二维空间下的高斯链穿越纳米孔道，从一个正方形空间进入另一尺度较大的正方形空间中的动力学过程，得到了穿越过程中各个状态的自由能以及相应穿越时间的完整表达式，并讨论了一些外界条件对穿越时间的影响。随着管道长度的增加，高分子链的平均穿越时间先是小幅度的降低，然后迅速增加。这是由不同的穿越机制所决定的。高分子链的长度与以及链单元与纳米管道之间的相互作用对平均穿越时间也有一定的影响。所得到的结果与计算机模拟结果有明显的差异，模拟结果得到的高分子链的平均穿越时间随着管道长度的增加单调增加，高分子链的长度与以及链单元与纳米管道之间的相互作用对平均穿越时间也有不同的影响，表明在二维体系下自规避效应对高分子的运动方式有不可忽视的作用。这对于我们正确认识和理解二维体系高分子链的动力学行为以及相关的生物学过程具有重要的意义。
 
Abstract
The dynamical process are calculated for the translocation of a single Gaussian chain through a nanometer-scale pore, from a square to the other in two dimensions. Explicit formulas of the free energy of various states and the mean translocation time are derived. As the pore length increases, the mean translocation time of the chain decreases a little first and then increase rapidly. This is caused by different barrier mechanism. The chain length and the strength of pore-polymer interaction also influence the mean translocation time. Compared with the results of the computer simulation method, differences can be readily found. As the pore length increases, the mean translocation time of the chain increases monotonically and the chain length and the strength of pore-polymer interaction show different impacts on the mean translocation time. This illustrated that the self-avoiding effect has essential influence on the two-dimensional dynamics of polymer chain. These results provide important understanding of two-dimensional dynamics of polymer chain and related biological processes.

第一章 前言
近年来，生命科学已经成为一大研究热点，遗传学方面更是由于人类基因组测序的完成而得到了重大的突破。但是，基因在生物体中如何被表达仍然是生物学的一大难题。要找到答案，关键是从微观角度找到结构与功能的关系。而要研究这个问题，就必然涉及到生物细胞内部的分子运动，尤其是细胞中具有遗传功能的分子如DNA, RNA的运动规律。由于DNA，RNA分子是生物高分子，而它们在发挥其遗传学功能时所处的环境就是纳米尺度的受限空间[1-3]。不难看到，单链高分子在受限空间中的动力学过程正是实际生物学过程的简化，对它的研究必然有助于人们理解相应的生物学过程。因此，这方面的研究对生物学的发展有重要意义。其次，在高分子领域，当受限空间尺度与高分子的回转半径相当时，由于所能取得的构象受到环境的制约，高分子将会表现出与在溶液状态下完全不同的动力学行为， 而后者的空间运动尺度远大于高分子的回转半径。这些都使人们对单链高分子在受限环境中的动力学行为产生了浓厚的兴趣。近几年，借助纳米制造工艺及纳米流体结构的发展，人们制造出了各种人工环境，从而可以直接观察到单链高分子在受限空间中的动力学行为，得到了很多有意义的实验结果[4-8]。这些结果有助于我们更进一步地理解高分子体系的静态和动态性质，也为此领域的理论计算提供了重要的参考。
理论计算可分为解析计算和数值计算两大类。解析方法主要着眼于利用物理学和高分子物理的解析理论对所研究的具体问题进行数学计算，致力于求出运动体系中关键物理量的解析表达式或者其标度，从而达到对相应体系的性质进行分析，预测和掌握的目的。数值计算方法则是利用电子计算机对给定物理过程建立相应的运动模型并进行模拟，通过统计大量的模拟数据而得到物理问题的数值解。两类方法各有所长，解析方法利用了数学工具，结合物理学中已有的成熟的理论，直接推导得到动力学方程的解，其结果信息量大，可以将所研究体系的性质完全表达出来，而且易于系统化及理论化。所以，解析方法应该是一种比较理想的研究方法。但是由于此领域所涉及的运动的性质，相应的动力学方程往往非常复杂，直接求解非常困难，有时甚至无法求解，因此目前的解析计算工作主要集中于少数简单体系，并且在计算过程中常常需要引入数学近似，这些实际困难限制了解析方法的应用。数值方法又叫计算机模拟方法，它是电子计算机出现并广泛应用后发展出来的新方法。由于这种方法是利用计算机模拟分子的运动并对结果进行统计，不需要求解动力学方程， 因此没有解析方法中存在的困难。随着高性能计算机的使用，研究人员可以使用数值方法研究许多动力学方程无法求解的相对复杂的体系。从计算机模拟方法的性质来看，它既是一种理论方法，又可以看作一种实验方法：如果计算机模拟的结果与实验结果吻合，说明在模拟中使用的运动模型是合适的，分子运动就可以用相应的理论模型处理；而如果计算机模拟的结果与解析方法结果吻合，则说明解析方法的正确性。可以说，计算机模拟方法是解析方法和实验方法之间的桥梁，它已经成为了研究分子动力学的强大工具。当然，计算机模拟在目前也存在困难，因为数值计算方法的特点决定了它是一个计算密集型过程，高性能计算机是必要条件，由于目前条件的限制，研究工作者的研究范围受到很大限制，比如难以计算链长过大（超过500）或运动空间结构比较复杂的高分子链运动。因此解析和数值两种方法应该相互结合使用。
实验室跟踪和测量高分子在受限环境中的动力学过程主要借助荧光照相法和电流法两种技术。前者将高分子用荧光物质染色，高分子链运动或者改变后的构象通过光学放大拍摄得到伸展长度等宏观量；后者则利用高分子在通过电极之间的区域时引起的电流变化判断高分子链是否进入了电极区域, 从而得到高分子链通过空间某区域所经历的时间。这两种方法在研究准二维体系（比如吸附在界面上的链）时是非常便利和有效的，因此人们对单链高分子在准二维空间中的动力学行为进行了深入地研究并获得了大量的实验结果[4，5]。值得注意的是，上述实验方法（荧光照相法，电流法）的特点决定了它比较适合于研究准二维体系，而对于高分子在三维空间中的运动则无能为力。虽然已经有科学工作者正致力于解决这一难题，但目前还没有更好的办法对三维高分子链运动进行实验研究，因此，目前所获得的绝大多数实验结果仅局限于上述的准二维体系。为了能够将理论研究的结果与实验结果进行比较，我们的工作也相应地集中到二维体系高分子链的动力学行为上。
在本文中，我们对二维方形受限空间中的理想高分子链的动力力学行为进行了解析研究，得到了高分子链穿越纳米管道所需时间的解析表达式，讨论了各种外界条件对穿越时间的影响，并与计算机模拟实验的结果进行

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